对一个情景材料的再探究

   王建平  张 翎

   情景材料：

华师大版九年级（上）数学教材P40的“实践与探索”有这样一个问题：小明把一张边长为的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子。（如图）

 ⑴如果要求长方体的底面积为,那么剪去的正方形边长为多少？

⑵如果按下表列出长方体地面面积的数据要求，那么剪去正方形边长会发生什么样变化？折合成的长方体的体积又发生什么样的变化？

在你观察到的变化中，你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？先在下面的表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折合成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。

问题探究：

对问题⑴的探究，根据图形的直观提示，学生很容易推导出结果。我们不妨令折合成的长方体的底面积为cm，剪去的正方形边长为cm，于是有这样的函数关系式成立：。因为可以先求出正方形底面的边长，所以不难得到答案。

而对问题⑵⑶的探究，会激发学生的浓厚兴趣和激烈的争论，从填表的结果来看，知道：随着剪去的正方形的边长逐渐增大，折合成的长方体底面积越来越小，折合成的长方体体积由小变大再变小。而且学生很自然猜测出这样的结论：当时，。那么这个结论是否正确呢？

答案是否定的。我们根据材料要求，设剪去的正方形边长为cm，折合成的长方体体积为，显然有：。这是一个三次函数，利用它的一阶导数我们可以求出函数的最大值。具体过程如下：∵ 

∴，即，（不合题意舍去）时，取最大值  故当时，

以上解答涉及到三次函数和导数的有关知识，显然超出了学生的现有知识水平和探究能力，容易误导学生，产生信假为真的思维盲区，这对学生的自主学习和探究能力培养并无益处，也不能体现数学知识体系上的连贯性。

反思：

新课程标准中，要求数学课程的内容“应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容有利于学生主动地进行观察、试验、猜测、验证、推理与交流”从内容上强调了过程。不仅与创新意识和实践能力的培养紧密相连，而且使学生的探索经历和得出新发现的体验，成为数学学习的重要途径。所以内容的选材应着眼于学生的现实生活经验，以有利于学生的自主探究为目的，关注学生的学习过程，利于学生的再学习。

建议：

在学生刚学过“一元二次方程”的知识的基础上，又即将学习“二次函数”的背景下，是否可以把情景材料中的体积问题改为面积问题，这样既能拓展一元二次方程的知识，又为后面学习二次函数投石问路。更重要的是，让学生在探究的过程中，亲身经历数学的直观感受与抽象思维的统一、模糊猜测与严谨推理的统一，在体验学习成功的愉悦的同时，感受数学的未知美和发展美。通过对各种版本的教材的比较和整合，笔者建议：可选用人教版九年级数学教材上的一道习题，并加以改进，作为“实践与探索”的情景材料。

如图，有一面积为150m的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35m，求鸡场的长和宽各为多少？

可以作这样的改动：某养殖专业户打算围一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，已知竹篱笆的长为36m，

⑴如果鸡场的面积为144m，求鸡场的长和宽各为多少？

⑵如果按下表列出鸡场与墙相邻的边长的数据要求，那么鸡场与墙相对的边长会发生什么样变化？鸡场的面积又发生什么样的变化？

在你观察到的变化中，你感到围成的鸡场的面积会不会有最大的情况？先在下面的表格中记录下你得到的数据，再以鸡场与墙相邻的边长为自变量，围成的鸡场面积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。